Для анализа данных будем использовать следующие пакеты:
- pandas - загрузка, хранение (в DataFrame), манипуляции;
- seaborn, statsmodels - визуализация (использует matplotlib);
- scipy.stats - некоторые статистические функции, в том числе проверка гипотез.
Прекрасный вариантом будет строить интерактивные диаграммы с помощью
plotly или включать интерактивные matplot графики в Jupyter Notebook применяя
mpld3, но не сегодня :)
Рабой средой будет
Jupyter Notebook - удобная оболочка для Питона работающая в браузере. Она может быть практичнее IDE или классической интерактивной оболочки потому, что показывает графики в том же окне, на манер многих математических пакетов.
import pandas as pd
Загрузка данных и просмотр
Загрузим данные из
CSV файла, где одно значение от другого отделяет запятая. В этом примере у данных отсутствует заголовок - первая строка файла с названиями полей. Поэтому укажем параметр
header=None дабы данные в первой строки не принять за названия полей.
pdata = pd.read_csv('filename.csv', delimiter=',', header=None)
В самом начале посмотрим, что же загрузили:
pdata.info()
0 1307 non-null object
1 0 non-null float64
2 0 non-null float64
3 1306 non-null object
...
17 1500 non-null int64
Итак, загружено 1500 записей (строк файла), 18 полей. В первом поле 1307 записей имеют значения, во втором не одного, и так далее. Определены типы данных в некоторых полях.
Посмотрим более детальную информацию по каждому из полей:
pdata.describe()
1 2 4 7 8 11 13 15 16 \
count 0 0 0 0 1500.000000 0 1500 1497.000000 1497.00
mean NaN NaN NaN NaN 1.852667 NaN 2 52300.977288 2967182.03
std NaN NaN NaN NaN 0.837911 NaN 0 19574.930119 1710899.18
min NaN NaN NaN NaN 1.000000 NaN 2 33.000000 2500.00
25% NaN NaN NaN NaN 1.000000 NaN 2 46400.000000 1850000.00
50% NaN NaN NaN NaN 2.000000 NaN 2 55000.000000 2950000.00
75% NaN NaN NaN NaN 2.000000 NaN 2 62500.000000 3480000.00
max NaN NaN NaN NaN 4.000000 NaN 2 93650.000000 10500000.00
17
count 1500.000000
mean 10.500000
std 5.768204
min 1.000000
25% 5.750000
50% 10.500000
75% 15.250000
max 20.000000
Первой строкой приведены номера полей. Для некоторых из них вычислены среднее (mean),
стандартное отклонение (std), максимальное и минимальные значения,
перцентили.
Чтобы табличка выглядела красивее установим количество выводимых цифр для вещественных чисел:
pd.set_option('precision',3)
Посмотреть часть данных:
# печатаем данные полностью
pdata
# ... или только голову (по умолчанию n = 5 строк)
pdata.head()
# ... или хвост (по умолчанию n = 5 строк)
pdata.tail()
Доступ к отдельным полям осуществляется по их названиям, которые содержатся в списке columns:
pdata.columns
Если там ничего нет, то добавим. Предпологаем, что у нас только два поля, ибо число заголовков должно соответствовать числу полей:
pdata.columns = ['price', 'price_m2']
Затем, обратимся к полю price чтобы просмотреть значения:
pdata['price']
или так
pdata.price
Если известен только номер нужного поля, например 10:
pdata1[pdata.columns[10]]
Одновременно можно выбрать несколько полей, например для создания нового объекта DataFrame
df2 = df[df.columns[ [-12,-8,-6,-4,-3,-2] ]]
А может быть нас интересует конкретный элемент, например в первой записи 10-го поля:
pdata1.iloc[1,10]
DataFrame поддерживает и сложные запросы, например можно указать несколько условий для разных столбцов. Кроме того можно применять функции к отдельным столбцам. Подробнее:
https://habr.com/company/ods/blog/322626/
Алсо
В некоторых случаях удобно анализировать данные напечатав их в красивой табличке воспользовавшись пакетом prettytable.
Создание объекта DataFrame из списков
Вместо получения данных из файла, объединим два списка в объекте DataFrame.
price = [4.65, 2.3, 5.8, 1.35, 4.8, 7.5, 3.3, 2.95, 2.95, 1.8, 1.6, 3.399, 5.9, 3.0, 1.6, 3.3, 1.85,
2.033, 2.23, 1.854, 3.48, 3.5, 2.75, 2.35, 2.95, 3.2, 2.75, 1.55, 2.1, 2.8, 2.8, 1.37, 2.1, 6.2,
3.65, 3.1, 3.35, 3.3, 3.85, 2.2, 2.85, 4.5, 3.3, 1.18, 3.79, 3.25, 3.18, 1.59, 1.3, 2.45, 2.2,
2.563, 2.1, 1.25, 3.2, 2.1, 3.69, 2.86, 2.37, 3.5, 2.06, 4.3, 4.55, 5.1, 1.9, 2.1, 2.65, 10.5,
2.24, 1.77, 1.35, 2.2]
price_m2 = [58.86, 38.333, 71.604, 40.909, 58.536, 62.5, 55.0, 56.73, 49.166, 64.285, 31.372,
48.557, 93.65, 75.0, 53.333, 68.75, 57.812, 49.585, 53.095, 46.35, 46.4, 67.307, 45.081, 55.952,
60.204, 53.333, 78.571, 43.055, 37.5, 66.666, 41.176, 29.782, 51.219, 87.323, 52.142, 50.0, 67.0,
55.0, 71.296, 42.307, 41.304, 57.692, 47.142, 28.78, 57.424, 50.781, 46.086, 49.687, 40.625, 61.25,
43.137, 51.26, 47.727, 50.0, 61.538, 47.727, 47.307, 42.058, 47.4, 53.846, 46.818, 57.333, 56.875,
43.589, 5.882, 61.764, 41.406, 55.851, 48.695, 42.142, 28.723, 53.658]
# создадим DataFrame из 2-х списков сразу указав соответствующие спискам имена полей.
# Пусть в этом примере имена списков и имена полей совпадают:
df = pd.DataFrame({'price': price, 'price_m2': price_m2})
Обработка данных
Далее, стоит привести данные к пригодному для обработки виду.
Удалить одинаковые записи, если в этом есть необходимость:
pdata1 = pdata.drop_duplicates()
Положив именованный параметр inplace функции drop_duplicates равным True избавляемся от создания нового объекта, как это происходило выше. Теперь можно записать так
pdata.drop_duplicates(inplace=True)
pdata теперь не содержит дубликатов.
Многие функции имеют подобный параметр, что даёт возможность избавиться от лишнего копирования.
Сохраним данные в файл
pdata.to_csv('data.csv')
Алсо
Конвертировать текстовое представление даты в дату (объект datetime)
Предположим, что поле time состоит из записей вида
2016.08.06 18:15.
Data.time = pd.to_datetime(Data.time)
Если необходимо, вторым параметром метода to_datetime устанавливается формат даты в исходной строке. Для вышеприведйнной строки формат должен быть описан следующим образом: %Y.%m.%d %H:%M
Графическое представление данных
Чтобы нарисовать красивые графики и диаграммы используем пакет
seaborn. Это не единственный способ создавать различные диаграммы и графики (matplotlib), но, наверное, самый красивый.
import seaborn
# для показа сгенерированных картинок используем matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
Далее будем использовать plt без отдельного импорта пакета и иногда будем опускать код, добавляющий необходимые пояснения к представленным на рисунках данным:
# установим заголовок для графика
plt.title("Диаграмма рассеивания: цена квартиры - цена $м^2$");
# подпишем оси координат обозначив единицы измерения
plt.xlabel("Цена $м^2$, тыс.руб.")
plt.ylabel("Цена квартиры, млн.руб.")
Если в качестве рабочей среды используется
ipython notebook (теперь Jupyter Notebook), то нужно включить интеграцию с matplotlib (графики в том же окне)
[so]:
%matplotlib notebook
При необходимости можно установить размер и разрешение графиков:
figure(figsize = (80,40), dpi=100) # размеры в дюймах
# установить размер шрифтов на графиках
matplotlib.rcParams.update({'font.size': 16})
***
Самый быстрый способ что-нибудь нарисовать - использовать метод plot
df.plot(x='price', y='price_m2', kind='scatter') # построим диаграмму рассеивания
параметр
kind может принимать значения:
'line', 'bar', 'barh', 'kde', 'density', 'scatter'.
Отображает данные на плоскости или в пространстве. Значения случайных величин откладываются вдоль осей координат. В примере каждая запись из DataFrame представлена точкой с координатами price и price_m2.
seaborn.regplot(x='price_m2', y='price', data=df); plt.show()
В качестве первых двух параметров передаются названия полей (df.columns) DataFrame. Линия тренда отключается параметром fit_reg=False.
Ещё один вид представления диаграммы рассеивания
# нарисуем ещё и линию тренда kind='reg'
seaborn.jointplot(x='price_m2', y='price', data=df, kind='reg');
# подпишем оси координат
plt.xlabel("Цена $м^2$, тыс.руб.");
plt.ylabel("Цена квартиры, млн.руб");
plt.show();
Здесь в дополнение к непосредственно данным приведён линейный коэффициент корреляции (Пирсона) - pearsonr и p-уровень значимости.
Ибо p-value меньше уровня значимости 1% (0.00013 < 0.01) гипотеза о статистической взаимосвязи между величинами может считается верной.
Отмечу, что у меня получилось корректно подписать оси координат для графика в центре только после того как был добавлен параметр стиля в функцию jointplot. Фактически на картинке 3 графика и необходимо указывать какому из графиков предназначаются подпись для осей координат.
Гистограмма и кривая плотности распределения
import seaborn
from matplotlib.pyplot import show # чтобы смотреть картинки без сохранения
seaborn.distplot(price) # подготовим гистограмму и кривую распределения
show() # покажем картинку
При необходимости можно настроить представление добавив параметры в функцию
distplot:
fit=norm - нарисовать поверх данных кривую нормального распределения;
label = 'имя' - указать имя для гистограммы и кривой, чтобы не спутать их с другими;
color = 'y' - изменить цвет;
kde = False - не рисовать kernel density estimate (ядерную (?) оценку плотности вероятности), это кривая на графике выше;
hist = False - не рисовать гистограмму.
Boxplot (ящик с усами или диаграмма размаха)
График показывает сразу несколько параметров распределения:
медиану - линия внутри ящика;
стенками ящика (квартили 0.25 и 0.75) ограничены 50% выборки;
Длинна усов рассчитывается по-разомну.
Это может быть просто минимальное и максимальное значения в выборке. Второй вариант - полторы ширины ящика (расстояния между квартилями 0.25 и 0.75). Тогда точками отмечаются выбросы.
seaborn.plt.title("Диаграмма размаха цен за $м^2$") # Дополним график заголовком
ax=seaborn.boxplot(price_m2)
ax.set(xlabel='цена за $м^2$, тыс.руб.') # добавим подпись к оси абсцисс
plt.show()
Несколько диаграмм на одном рисунке doc
# расположим графики по 2 в столбце в 1 столбец
# и пусть графики имеют общую ось Х
f, ax = plt.subplots(2,1, sharex=True)
подпишем каждый график
ax[0].set_title("Гистограмма распределения")
ax[1].set_title('Диаграмма рассеивания')
# а также ось абсцисс.
# она будет расположена в низу нижнего графика, поэтому добавим подпись только туда
ax[1].set_xlabel('тыс.руб.')
# явно укажем в параметре ax в каком месте какой график изображать
seaborn.boxplot(price, ax=ax[1])
seaborn.distplot(price, ax=ax[0])
# озаглавим всю картинку, а чтобы текст не сливался с остальными подписями сделаем его шрифтом покрупнее
plt.suptitle("Характеристики распределения цен за $м^2$", size=16)
plt.show()
Пример
from math import *
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm # для построения qq plot
from scipy.stats import norm, normaltest
import seaborn
file = "apartments.csv"
# загружаем данные из CSV файла.
# данные представлены списком строк, значения в которых разделены одно от другого зяпятой ","
pdata_ = pd.read_csv(file, delimiter=",")
# В файле содержится много лишней информации, удаляем некоторые поля(столбцы) axis=1 указав их номера как в списке
pdata = pdata_.drop(pdata_.columns[[0,1,2,3,4,5,7,9,11,13, -1]], axis=1)
# устанавливаем заголовки для полей, в дальнешем их можно использовать как атрибуты
pdata.columns = ['name', 'rooms', 'addr', 'square', 'floor', 'price_m2', 'price']
print("Загружено %i записей"%len(pdata))
# удалим дубликаты, изменения зразу "запишем" в тот же объект
pdata.drop_duplicates(inplace=True)
# После загрузки, числовые значения для некоторых числовых полей имеют тип string
# конвертируем значения этих полей в числа. неконвертируемые значения станут NaN
pdata.price_m2.convert_objects(convert_numeric=True, copy=False)
pdata.price.convert_objects(convert_numeric=True, copy=False)
# Удалим все записи (строки) целиком если они содержут Na или NaN хотя бы в одном поле
pdata.dropna(inplace=True)
# или
# заполним недостающие значения для одного поля
pdata.price.fillna(52, inplace=True)
# или для всех полей
pdata.fillna(123, inplace=True)
# удалим ещё и записи, где значение поля price_m2 меньше 1000
pdata = pdata[ pdata.price_m2 > 1000 ]
# поделим все значения в полях на ...
pdata.price_m2 = pdata.price_m2.map(lambda x: x/1000)
pdata.price = pdata.price.map(lambda x: x/1000000)
print("Всего уникальных записей: %i"%len(pdata))
print("Уникальных записей по полям")
# цикл по парам (имя_поля, Series - содежание поля)
# напечатать число уникальных значений для каждого поля
for colname,rows in pdata.iteritems():
print("{0: <9}: {1}".format(colname, len(pd.unique(rows))))
seaborn.plt.title('Диаграмма рассеивания: цена $м^2$ - цена квартиры')
ax = seaborn.regplot(x='price_m2', y='price', data=pdata)
ax.set(xlabel='Цена $м^2$, тыс.руб.', ylabel='Цена, млн.руб.')
plt.show()
print("\nРаспределение цен кв. метра квартиры, руб")
print("Среднее: {0}".format(pdata.price_m2.mean()))
print("Медиана: {0}".format(pdata.price_m2.median()))
print("Ср. кв. отклонение: {0}".format(sqrt(pdata.price_m2.var())))
print("Мода(моды):\n{0}".format(pdata.price_m2.mode()))
seaborn.plt.title('Плотность распределения цен')
seaborn.distplot(pdata.price, axlabel='Цена, млн.руб.')
plt.show()
seaborn.plt.title('Плотность распределения цен за $м^2$')
seaborn.distplot(pdata.price_m2, axlabel='Цена $м^2$, тыс.руб.')
plt.show()
sm.qqplot(pdata.price_m2, line='s')
plt.title('Гипотеза о нормальности распределения цен за $м^2$')
t = normaltest(pdata.price_m2)
print("\nПроверка гипотезы о нормальности распределения цен за кв.м. квартиры")
if t[1] < 0.05: print("Распределение НЕ является нормальным (p-value = %0.3f > 0.05)"%t[1])
else: print("Цены распределеные нормально (p-value = %0.3f < 0.05)"%t[1])
plt.show()
После того, как данные представленны графически, проверим несколько статистических гипотез.
Проверка гипотезы о равенстве средних.
Предположим, что имеется две выборки. Например массы кошек и котов. Если вычислить средние массы самцов и самок наверняка получатся
отличающиеся цифры. Даже если массы самцов и самок у данного вида животных не отличаются. Но прежде чем мы это выясним нужно ответить на вопрос. Какие различия между средними массами выборок считать значимыми, а какие нет, т.е. получившимися в силу случайности измеряемой величины.
Чтобы ответить на этот вопрос во-первых нужно учитывать, обёмы выборок. Что если выборки маленькие, и совершенно случаной в выборку самцов попали только коты-толстяки, а в выборку самок кошки без лишнего веса?)
Конечно чем больше выборка, тем меньше вероятность что туда попадут исключительно коты с нетипичной массой.
Во-вторых нужно учитывать на сколько вообще случайна масса самих кошек и котов. Если мы будем помещать в выборку кошек разной породы, то там будут самые разные массы. Стало быть если разброс масс может быть большой, то можно думать, что и средние тоже могут отличатся сильнее.
Поэтому чтобы сделать обоснованый вывод о равенстве средних нужно учесть характеричтики выборок. Для этого существуют специальные процедуры сравнения. Они называются статистическими критериями (тестами).
Некоторые из них.
Одни критерии применимы для маленьких выборок, порядка единиц. Другие можно применять только для больших выборок, а третьи только для выборок распределённых по нормальному закону.
Помимо этого, одни критерии (или их варианты) применимы для зависимых, а другие для независимых
выборок.
Зависимые выборки - это те где одному объекту из первой выборки соответствует обхект из второй. Стало быть выборки должны иметь один и тот же объём.
Например близнецов можно рахбить на две выборки. У каждого близнеца будет ровно один брат (или сетра) в другой выборке. Причём не любой брат, а именно
его брат.
Другой пример зависимых выборок - рост людей в 20 и в 30 лет. Здесь человеку ставится в соответствие он же сам.
Для независимых выборок нельзя сказать, что именно этому объекту из первой ыборки соответствует именно из второй. Пример с кошками как раз представляет собой две независимые выборки.
Проверим гипотезу о равенстве средних используя t-критерий Стьюдента. (Притворимся что выборки имеют нормальное распределение).
Нулевая гипотеза здесь (как и во многих похожих тестах) следующая: математические ожидания равны. Если точнее, то равны именно математические ожидания генеральныз совокупностей из которых сделаны выборки. Ведь выборочные мат.ожидания мы и без критериев сравнить можем.
from scipy.stats import *
y = [16.8, 18, 20.3, 17.3, 18.9, 18]
x = [18.5, 17.5, 18.5, 19.8, 17.9, 19.4]
ttest_ind(x, y)
# Результат
Ttest_indResult(statistic=0.61784218471924157, pvalue=0.55048986906612796)
В результате нам интересно p-value. Оно здесь заметно больше всякого разумного уровня значимости (например 0.05) поэтому оснований для отклонения нулевой гипотезы нет: матожидания генеральных совокупностей равны.
Другие статистические критерии для проверки равенства средних:
ttest_rel(x,y) - t-критерий для зависимых выборок.
ttest_ind(x,y) - t-критерий для независимых выборок.
wilcoxon(x,y) - критерий Уилкоксона (зависимые выборки)
mannwhitneyu(x, y, ...) - U-критерий Манна — Уитни (независимые выборки)
Вычисление коэффициента корреляции Пирсона и проверка его значимости.
Коэффициент корреляции Пирсона (лиейный коэффициент корреляции) описывает силу линейной зависимости между двумя случайными величинами. Он принимает значения в отрезке от 1 до -1. Значение к.к. Пирсона близкое к нулю говорит об отсутствии (слабой зависимости) линейной зависимости между случайными величинами. Значение близкое по модулю к еденице, наоборот говорит о сильной линейной зависимости. Стоит отметить, что случайные величины могут быть связаны ещё и нелинейной зависимостью, тогда к.к. Пирсона здесь плохой помошник. Кроме того, вычисляя к.к. по выборке можно совершенно случайно получить то или иное значение к.к., поэтому имеет смысл оперировать ещё и степенью уверенности для этого значения. В математической статистике для этого служит p-value - вероятность получить такое или ещё более выраженное значение случайно. На практике, особенно при небольших объемах выборки нулевого p-value добится не получается, поэтому довольствуются некоторыми малыми вероятностями того, что величниа (в нашем случае к.к) получена не случайно. Обычно, в соответствии с принципом практической невозможности маловероятных событий, принимают допустимую вероятность ошибки в 0.05 или 0.01. Однако стоит обратить внимание на то, что при многократном извлечении выборки и вычислении параметра, можно получить желаемое значение параметра совершенно случайно.
from scipy.stats import perasonr
# функция возвращает к.к. Пирсона и p-value
# проверяется гипотеза о том, что такое значение к.к. Пирсона получено случайно
r,p = pearsonr(price_m2, price)
>>>(0.48992003383028732, 1.2541938539342937e-05)
В итоге имем значение к.к. r= 0.49
p-vlue = 0.000013 < 0.01, значение гораздо меньше допустимой вероятность ошибки - отвергаем гипотезу о случайности данного значения к.к.Пирсона. Этому значению r можно доверять.
***
Генерирование значений случайной величины
Модуль scipy.stats содержит множество классов,
каждый из которых предназначен для работы с определённым распределением.
Несколько примеров:
scipy.stats.uniforn - равномерное распределение
scipy.stats.norm - нормальное распределение
scipy.stats.t - распределение Стьюдента (t-распределение)
scipy.stats.poisson - распределение Пуассона
Эти классы имеют схожие методы для генерирования случайных значений -
rvs.
Генерирование одного значения СВ распределённой по стандартному нормальному закону:
scipy.stats.norm.rvs()
Различия в вызове функции rvs для каждого подмодуля - это различия
в
параметрах распределений.
Например равномерное распределение (uniform) имеет два параметра
определяющие минимальное и максимальное значение СВ.
Нормальное распределение имеет тоже два параметра,
но это математическое ожидание и стандартное отклонение.
Параметры функции rvs
функция rvs имеет три параметра которые и задают параметры распределения
эти параметры
loc, shape, scale
какие из этих трёх параметров нужно задавать
и какой смысл они имеют напиcано в документации к подмодулю
параметры указываются так:
scipy.stats.norm.rvs(loc = 12.2)
Для параметра
shape приводится просто число:
scipy.stats.norm.rvs(5.72)
Пример
help( scipy.stats.norm )
The location (loc) keyword specifies the mean.
The scale (scale) keyword specifies the standard deviation.
loc - это математическое ожидание
sсale - стандартное отклонение
Отдельным параметром
size задаётся количество значений СВ которые нужно сгенерировать.
Создание 100 значений нормально распределённой случайной величины с математическим лжиданием 4 и стандартным отклонением 7.
scipy.stats.norm.rvs(loc=4, scale=7, size=1000)
Друге примеры в jupyter блокноте:
https://github.com/VetrovSV/ST/blob/master/Python.%20Statistics.ipynb
Вычислить значение функции распределения - CDF
CDF (cumulative distribution function) - функция распределения случайной величины. Значение этой функции - вероятность в которой случайная величина X примет значение меньше заданного x:
F(x) = P(X < x)
На рисунке, вероятность того что случайная величина примет значении меньше 1 закрашена серым. Площадь под любой кривой распределения всегда равна еденице.
При проверке статистических гипотез или вычислении доверительных интервалов нужно вычислять значение функции распределения случайно величины. В каждом конкретной задаче случайная величина может быть распределена по какому угодно закону т.е. иметь свою форму кривой плотности вероятности.
Кроме проверки гипотез, CDF может пригодится и для вычисления вероятности того, что случайная величина примет значение лежащие в отрезке. Такая вероятность вычисляется по формуле:
P(x1 < X < x2) = F(x2) - F(x1)
Формулу легко представить как разность двух площадей.
В пакете scipy функции распределения имеют схожий интерфейс, у каждой можно вызвать cdf, pdf, isf функции. Приведём пакеты некоторых функции распределения из них.
CDF для стандартного (нормированого) нормального закона и других законов
from sicpy.stats import norm # нормальное распределение
norm.cdf(3)
0.9986501019683699
Это же значение можно подсмотреть и в таблице
pdf
from scipy.stats import f # распределение Фишера
from scipy.stats import t # распределение Стьюдента (t распределение)
from scipy.stats import chi2 # распределение Хи-квадрат
from scipy.stats import poisson # распределение Пуассона
Если обозначить площадль слева от заданной ординаты как
p (закрашени область на рис. выше), то площадь справа q = 1 - p.
Получить ординату точки по значению q работа функции isf.
Приведём несколько примеров:
p = 0.95
q = 1 - p
norm.isf(q)
>>> 1.6448536269514722
norm.cdf(_) # проверим результат
0.94999999999999996
# для некоторых распределений необходимо указывать их параметры, здесь - число степеней свободы
t.isf(0.05, df=100)
>>> 1.6602343260657506
# t.cdf(_, df=100) проверим результат
>>> 0.94999999999802531
Алсо
R - язык программирования созданным специально для обработки данных.
R Studio - среда разработки.
Ссылки
